順列と組み合わせの違いをリレーのチーム選考に例える


順列と組み合わせの話というのはなんとなく理解して、そのうち忘れるということを繰り返しがちです。ちょっと整理してみました。

まず定義から

順列と組み合せの定義はこうです。

  • 順列
    n 個から r 個を選んで 順番を意識して 並べたもの
  • 組み合せ
    n 個から r 個を選んで 順番を意識せず 並べたもの

ちょっと抽象的なので、もう少し具体的に考えてみます。

リレーチームに例えてみる

リレーのチームを選抜するとします。候補は5人、そこから3人を選びます。そうすると、順列と組み合せの定義はこうなります。

  • 順列
    3人を選んで、走る順番も決める
  • 組み合せ
    3人を選ぶ (選ぶだけ。順番は決めない)

n 個から r 個を選ぶとき(今の例だと 5人から 3人を選ぶとき)

  • 走る順番は何パターンになるか?
    それを求めるのが順列の問題で、パターンの数を \({}_n P _r\) と書きます。
    (今の例だと \({}_5 P _3\))
  • チームのメンバー構成は何パターンになるか?
    それを求めるのが組み合せの問題で、パターンの数を \({}_n C _r\) と書きます。
    (今の例だと \({}_5 C _3\))

計算の手順

まず順列 \({}_n P _r\) を求め、その値をもとに組み合せ \({}_n C _r\) を求めます。

順列の求め方

5人から第一、二、三走者を選ぶわけですから

  • 第一走者は5人から選ぶ
    (残りは4人)
  • 第二走者は残り4人から選ぶ
    (残りは3人)
  • 第三走者は残り3人から選ぶ

全パターンの数は 5 × 4 × 3 =60パターンになります。

図にすると (5人をそれぞれ A、B、C、D、E とします)

順番のパターン数が \({}_n P _r\) ですから

\({}_5 P _3=5 \times 4 \times 3=60\)です。

公式にしてみる

上の数式はとても単純で、選手の人数 5 を起点にして、-1しながら掛け算を3回行うだけです。

簡単ですが、これは、あくまで、5人から3人を選ぶ場合の計算式です。公式として、n個 から r個を選ぶ場合の計算式がどうなるのか考えてみます。

まず、5 × 4 × 3 を、次のように書きなおします。

\(5 \times 4 \times 3\)
\(=\large{\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}} \normalsize{=} \ \large{\frac{5!}{2!}}\ \normalsize{=} \large{\frac{5!}{(5-3)!}}\)

ここでという具体的な数字を nrに置き換えると公式になります。

公式:\({}_n P _r=\large{\frac{n!}{(n-r)!} }\)

組み合せの求め方

順列のパターン数 \({}_n P _r\) を求め、その結果から組み合せのパターン数 \({}_n C _r\) を求めると先に書きました。そもそも両者の関係はどうなっているのか、それをまず確認しておきます。

順列と組み合わせの関係

A、B、C の3人でチームを組んだとします。そのチームの走る順番は以下の6通りが考えられます。

A → B → C
A → C → B
B → A → C
B → C → A
C → A → B
C → B → A

チームに対して走順が6通り。言いかえると、組み合せ1つ(A、B、C)に対して順列が6通り考えられるわけです。つまり、走順のパターン数チームのパターン数6倍になるということです。

ということは、順列のパターン数の合計(前項で求めた60)を6で割れば組み合せのパターン数が求まるはずです。

\({}_5 C _3=\large{\frac{{}_5 P _3}{6}}\normalsize{=}\large{\frac{60}{6}}\normalsize{=10}\)

チームのパターン数は10です。

公式にしてみる

前式の分母 6 という値はどのように求めるのでしょうか。数式で表すと

\(3 \times 2 \times 1\)

これは、3人の並び順を全部数えるための数式で、 \(3!\) と書けます。

\({}_5 C _3=\large{\frac{{}_5 P _3}{6}}\normalsize{=}\large{\frac{{}_5 P _3}{3!}}\)

ここでという具体的な数字を nrに置き換えると公式になります。

公式:\({}_n C _r=\large{\frac{{}_n P _r}{r!}}\normalsize{=}\large{\frac{n!}{(n-r)!\ r!} }\)

まとめ

\({}_n P _r=\large{\frac{n!}{(n-r)!} }\)

\({}_n C _r=\large{\frac{{}_n P _r}{r!}}\normalsize{=}\large{\frac{n!}{(n-r)!\ r!} }\)

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