順列と組み合わせの話というのはなんとなく理解して、そのうち忘れるということを繰り返しがちです。ちょっと整理してみました。
まず定義から
順列と組み合せの定義はこうです。
- 順列
n 個から r 個を選んで 順番を意識して 並べたもの - 組み合せ
n 個から r 個を選んで 順番を意識せず 並べたもの
ちょっと抽象的なので、もう少し具体的に考えてみます。
リレーチームに例えてみる
リレーのチームを選抜するとします。候補は５人、そこから３人を選びます。そうすると、順列と組み合せの定義はこうなります。
- 順列
３人を選んで、走る順番も決める - 組み合せ
３人を選ぶ （選ぶだけ。順番は決めない）
n 個から r 個を選ぶとき（今の例だと 5人から 3人を選ぶとき）
- 走る順番は何パターンになるか？
それを求めるのが順列の問題で、パターンの数を \({}_n P _r\) と書きます。
（今の例だと \({}_5 P _3\)） - チームのメンバー構成は何パターンになるか？
それを求めるのが組み合せの問題で、パターンの数を \({}_n C _r\) と書きます。
（今の例だと \({}_5 C _3\)）
計算の手順
まず順列 \({}_n P _r\) を求め、その値をもとに組み合せ \({}_n C _r\) を求めます。
順列の求め方
５人から第一、二、三走者を選ぶわけですから
- 第一走者は５人から選ぶ
（残りは４人） - 第二走者は残り４人から選ぶ
（残りは３人） - 第三走者は残り３人から選ぶ
全パターンの数は ５ × ４ × ３ ＝６０パターンになります。
図にすると （５人をそれぞれ A、B、C、D、E とします）
順番のパターン数が \({}_n P _r\) ですから
公式にしてみる
上の数式はとても単純で、選手の人数 ５ を起点にして、－１しながら掛け算を３回行うだけです。
簡単ですが、これは、あくまで、５人から３人を選ぶ場合の計算式です。公式として、n個 から r個を選ぶ場合の計算式がどうなるのか考えてみます。
まず、５ × ４ × ３ を、次のように書きなおします。
ここで５、３という具体的な数字を n、rに置き換えると公式になります。
組み合せの求め方
順列のパターン数 \({}_n P _r\) を求め、その結果から組み合せのパターン数 \({}_n C _r\) を求めると先に書きました。そもそも両者の関係はどうなっているのか、それをまず確認しておきます。
順列と組み合わせの関係
A、B、C の３人でチームを組んだとします。そのチームの走る順番は以下の６通りが考えられます。
A → C → B
B → A → C
B → C → A
C → A → B
C → B → A
チームに対して走順が６通り。言いかえると、組み合せ１つ（A、B、C）に対して順列が６通り考えられるわけです。つまり、走順のパターン数はチームのパターン数の６倍になるということです。
ということは、順列のパターン数の合計（前項で求めた６０）を６で割れば組み合せのパターン数が求まるはずです。
チームのパターン数は１０です。
公式にしてみる
前式の分母 ６ という値はどのように求めるのでしょうか。数式で表すと
これは、３人の並び順を全部数えるための数式で、 \(3!\) と書けます。
ここで５、３という具体的な数字を n、rに置き換えると公式になります。
まとめ
\({}_n P _r=\large{\frac{n!}{(n-r)!} }\)
\({}_n C _r=\large{\frac{{}_n P _r}{r!}}\normalsize{=}\large{\frac{n!}{(n-r)!\ r!} }\)