回転行列が なぜ あの形なのか数学の素人が考える


回転行列をベクトルにかけあわせると、ベクトルが回転します。回転する角度を θ とすると、2次元の回転行列は次の通りです。

\(
\left(
\begin{array}{cc}
cos \theta & -sin \theta \\
sin \theta & cos \theta
\end{array}
\right)
\)

これでどうして回転するのかパッと見よくわかりませんが、仕組みを理解するため求め方を考えてみます。

- 目次 -

スポンサーリンク

求めかた

下図のように 緑のベクトルθ 度回転させ、オレンジ の位置に移動したとします。

回転行列

緑のベクトル の成分を (n、m) とします。

回転行列

ベクトルの回転にあわせて、x成分、y成分 も回転させてみます。すると下図のようになります。回転後の x成分、y成分 の位置を n´、m´ とします。

回転行列

ここで n´、m´ の座標はどうなるのか考えます。それが判れば、回転後のベクトル成分が判ります。なぜなら、 n´、m´ をベクトルと考えると、n ´ + m´ が回転後のベクトルの終点だからです。

回転行列

n´、m´を確認するため、回転前後の x成分、y成分 を並べてみます。

回転行列

上図のとおり、

の座標は
の座標は
n cos θ
– m sin θ

n sin θ
m cos θ

です。

そして、先に述べましたが、回転後のベクトルの終点は n ´ + m´ です。

回転行列

n ´ + m´ を計算すると

回転行列

つまり、回転前、後のベクトルはこうなります。

回転行列

行列の計算式になおすと、回転後のベクトルはこうなります。

\(
\left(
\begin{array}{cc}
cos \theta & -sin \theta \\
sin \theta & cos \theta
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
n \\
m
\end{array}
\right)
\)

左側にでてきたのが 回転行列 です。

スポンサーリンク
その他の記事

コメントはお気軽に