機械学習の本なんかでシグモイド関数(ロジスティック関数)の微分がたまに出てきます。
\(S(x)= \large\frac{1}{1+ \exp (-x)} \)
↓ 微分
\(S'(x)=S(x) \,\big(1\,-\,S(x)\big) \)
が、その導出法があまり載っていないので、メモ程度にまとめました。
- 目次 -
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逆数の微分
まず、逆数の微分公式を確認しておきます。
\(\large \left(\frac{1} {f} \right)’=\large \frac{- f’ } {f^{2}} \) です。 くわしくは こちらで
シグモイド関数の微分
シグモイド関数は \(1+ \exp (-x)\) の逆数なので
\(S'(x)\large= \left( \frac{1}{1+ \exp (-x)}\right)’\)
\(\Large= \frac{-\big(1+ \exp (-x)\big)’}{\big(1+ \exp (-x)\big)^{2}}\)
\(\large= \frac{\exp (-x)}{\big(1+ \exp (-x)\big)^{2}}\)
\(\large= \frac{1}{1+ \exp (-x)}\, \frac{\exp (-x)}{1+ \exp (-x)}\)
\(\large= \frac{1}{1+ \exp (-x)} \, \left(\frac{1+ \exp (-x)}{1+ \exp (-x)} \,-\, \frac{1}{1+ \exp (-x)}\right)\)
\(\large= \large S(x) \,\big(1\,-\,S(x)\big)\)
通りすがり says:
わかりやすい説明をありがとうございます!スッキリしました。
管理人 says:
通りすがりさん、こんにちわ
コメント、どうも有難うございます
スッキリされてなによりです